Gut, ja dann wollen wir starten, geht's los. Herzlich willkommen zur Mehrkörperdynamikübung.

Mein Name ist Theresa Wenger. Ich bin schon relativ lang am Lehrstuhl. Genau, war ein bisschen

Urgestein, war länger Zeit in Elternzeit und bin jetzt wieder da und mach dieses Wintersemester

mit euch die Mehrkörperdynamikübung. Organisatorisch gibt's gar nicht so viel zu besprechen.

Also Unterlagen finden Sie alle auf stud.on. Es wird auch eine Lösung rausgegeben, die wird dann

wahrscheinlich im Laufe der Woche mal hochgeladen. Das heißt, Sie können auch sich gerne die Lösung

ausdrucken und hierher mitnehmen und sich da ein bisschen was dazu notieren, wie Sie halt wollen,

oder Sie schreiben halt mit, was ich mitschreibe. Ja genau, falls Sie jetzt auch keine Fragen an

mich haben, dann würde ich sagen, wir starten direkt mit dem Stoff. Dann legen wir los. Und zwar

genau, direkt mit der ersten Aufgabe. Es geht hier so ein bisschen, ja im Endeffekt einmal

ein bisschen Wiederholung, ein bisschen zum Einstieg, was angenehmes, sag ich mal. Das

meiste dürfte Ihnen glaube ich bekannt sein. Genau, ich glaube wir brauchen das gar nicht

jetzt direkt die ganze Zeit dran haben. Aufgabe 1 ist das also, wir haben da eine

2 x 2 Matrix gegeben, die sei einfach a, b, c, d. Wir haben ein Vektor x gegeben, x1, x2 und ein

Vektor y mit den Einträgen y1 und y2. Genau, das erste was wir uns anschauen wollen ist das

Skalarprodukt. Haben wir also x Skalarpunkt y oder wir schreiben x transformiert y. Das heißt x

transformiert, dann haben wir keinen Spalten Vektor mehr, sondern ein Zeilen Vektor x1, x2,

mal den Spalten Vektor y1, y2. Genau, das ist einfach ausmultipliziert, ergibt einen Skalan

Wert und ist ja das Skalarprodukt so wie wir es kennen. Und genau, das Skalarprodukt ist

kommutativ. Das heißt wir kriegen das gleiche, wenn wir erst y transponieren und mit x

multiplizieren bzw. y Skalarpunkt x berechnen. Da kommt das gleiche raus. Dann wollen wir uns

das dyadische Produkt anschauen. Das ist quasi dieses Zeichen, das heißt dyadisches Produkt,

das ist so ein Kreuz in einem Kreis drin. Beziehungsweise wir können dafür auch schreiben

x mal y transponiert. Was wird das Ergebnis sein von dem dyadischen Produkt? Man kann sich da

vorab mal überlegen, was ich hier eigentlich mache. Also ich habe einen 2 Kreuz 1 Vektor und

den multipliziere ich mit y transponiert. Das ist dann ein 1 Kreuz 2 Vektor, eine Zeile,

zwei Einträge. Das heißt mein Ergebnis wird eine 2 Kreuz 2 Matrix sein. Ich habe also x1 x2 mal

y1 y2 und müssen jetzt elementweise multiplizieren. Dann haben wir x1 y1 x1 y2 x2 y1 und x2 y2.

Noch die Frage ist das dyadische Produkt kommutativ. Das heißt, wenn es kommutativ

wäre, dann würde gelten, dass das, also dann gilt das, stimmt das? Ist das kommutativ?

Wenn ich jetzt y1 und y2 schreibe, hier x1 y2, dann habe ich hier y1 x2, hier y1 x2,

das steht hier nicht, sondern das steht hier unten, dass genau die transformierte ist. Also

nicht kommutativ, sondern es gilt dieser Zusammenhang, dass, genau, dass es halt in

die Diadek die transformierte ist und wir können dann das auch noch festhalten, dass das dyadische

Produkt nicht kommutativ ist. Da schreibe ich weiter, das ist glaube ich besser. Da

schauen wir uns als nächstes die biliniare Form an. Genau, die biliniare Form ordnet zwei

Vektoren einen Skalanwert zu. Das heißt hier wäre das a meine biliniare Form und die ordnet

den Vektoren y und x einen Skalanwert zu. Wenn ich das hier quasi ausmultipliziere,

ist das Ergebnis ein Skalar und das können wir auch direkt mal machen. Wir haben dann also x1 x2

abcd und bekommen dann also a y1 plus b y2 und das Ganze können wir dann direkt noch mit x1

multiplizieren plus c y1 plus d y2 und das ganze Skalar multipliziert mit dem x Vektor,

also haben wir hier nochmal ein x2. Dann haben wir noch die quadratische Form. Der Unterschied

zur bilinären Form ist, dass ich jetzt nicht zwei unterschiedliche Vektoren übergebe,

sondern halt den gleichen. Das heißt dann wir haben xt ax und auch wieder also quasi die quadratische

Form ordnet diesen zwei Vektoren oder also ein Vektor über diesen Vektor dann einen Skalanwert

zu und das Ergebnis kann man quasi direkt hier mal übernehmen, indem wir für y1 und y2 jeweils

x1 und x2 einsetzen. Wir haben also a x1 plus b x2 mal x1 plus c x1 plus d x2 x2. Gut, genau,

dann ja, haben wir noch, wollen wir noch die Determinante anschauen. Das ist, also wir können

die Determinante von der Matrix A berechnen, das ist eine 2 x 2 Matrix, da ist das ziemlich einfach.

Also a 2 x 2 und die Determinante von a ist dann quasi einfach a mal d minus cb.